Bazı loto sayıları daha mı olası?
Açık konuşalım: tahmin doldururken hiç düşündün mü "13 yıllardır gelmedi, artık gelmeli"? Ya da tersi "6 son haftalarda hep çıkıyor, onu alıyorum"? Yalnız değilsin. Bu sezgi mantıklı geliyor ama matematiksel olarak yanlış, neden olduğunu baykuş şimdi açıklıyor.
Önce soğuk gerçek
Geçmiş çekilişlerin bir sonraki çekiliş üzerinde hiç etkisi yok. "Az" değil. "Biraz" değil. Hiç. Nokta. Topun hafızası yok.
Her loto çekilişi bağımsız bir rastgele olaydır. 13 beş yıldır gelmedi de olabilir, 6 son üç haftada çıktı da olabilir, bir sonraki çekilişte her topun tam olarak aynı şansı vardır: ilk pozisyon için 49'da 1, sonraki için 48'de 1 ve böyle devam eder, öncesinde olan her şeyden matematiksel olarak bağımsız.
En basit örnek: para atışı
Adil bir para attığını düşün. Üst üste on kez yazı geldi. On birinci atışta ne gelir?
Çoğu insan şöyle düşünür: "Şimdi ARTIK tura gelmeli, üst üste on yazı çok düşük olasılık." O kısmı doğru, üst üste on yazı gerçekten düşük olasılıktır (1.024'te 1). Ama o ilk atıştan önce doğruydu. Şimdi, on yazı zaten gelmişken, on birinci atışta yazı gelme olasılığı tam olarak %50'dir. Tura için de aynı.
Para öncesini bilmez. Hafızası yoktur. "Şimdi tura üretmesi gerektiğini" de bilmez. Her atış izole bir 50/50 kararıdır. Loto topları için de aynı mantık geçerli, sadece 50/50 yerine 49 top var, hepsi eşit şansta.
Bu düşünce hatasının bir adı var: Kumarbaz Yanılgısı (Gambler's Fallacy). İnsan beynine o kadar derin işlenmiş ki herkes en az bir kez ona kapılmıştır. Sen de. Biz de. Sorun değil - şimdi biliyorsun.
"Ama istatistik farklı sıklıklar gösteriyor?"
Doğru. İşte veritabanımızdan gerçek sayılar. 9 Ekim 1955'ten bu yana 5,007 ana çekiliş yapıldı. Çekiliş başına 6 sayı ile toplam 30,042 tek tek top çekilişi yapıldı. 49 sayıya yayıldığında, sayı başına beklenti yaklaşık 613'dir.
Gerçekten gözlemlenen:
| Sıra | Sayı | Çekilme | Beklentiden sapma |
|---|---|---|---|
| 1. en sıcak | 6 | 674 | +9,9% |
| 2. en sıcak | 49 | 659 | +7,5% |
| 3. en sıcak | 26 | 652 | +6,3% |
| 1. en soğuk | 45 | 546 | -10,9% |
| 2. en soğuk | 13 | 558 | -9,0% |
| 3. en soğuk | 21 | 572 | -6,7% |
Fark gibi görünüyor, değil mi? En sıcak sayı, en soğuk olandan 128 kez daha fazla çekildi, yaklaşık %20,9 fark. Çok gibi geliyor.
Ama değil. 5,007 çekilişte istatistik (matematik terimleri seviyorsan: binom dağılımı) sırf rastlantı sayesinde sayı başına yaklaşık ±23 çekilişlik bir standart sapma öngörür. 49 sayın varsa ve en uçlardakileri bakarsan, 100–130 arasında bir fark tam olarak matematiğin öngördüğü şeydir, top hafızalı olsun ya da olmasın.
Başka türlü söylersek: bu dağılım çarpık değil, "hafızalı rastgelelik" için fazla düzgün. Eğer top gerçekten "sıcak" ya da "soğuk" sayıları tutsaydı farklar çok daha keskin olurdu. Veriler sezginin söylediğinin tam tersini gösteriyor.
Loto tamburu ne kadar adil? 70 yıllık veri ne gösteriyor?
Tek tek sayılar için standart sapma hikâyenin sadece bir tarafı. Daha dürüst soru şu: 49 sayının tamamındaki dağılımı test ettiğimizde, bu dağılım adil bir tamburla uyumlu mu? Bunun için standart bir istatistik testi var: Ki-kare uygunluk testi. Bu testi 1955'ten bu yana Alman 6aus49 verilerine uyguladık. Sonuçlar şöyle.
Genel test
Her birinde 6 sayı bulunan 5,007 çekilişte, 49 sayının tamamı üzerinden yapılan ki-kare testi χ² = 49,08 sonucunu veriyor. Serbestlik derecesi 48, p-değeri = 0,4296. Bu normal dilde ne anlama geliyor?
Tamamen adil bir tambur, ortalamada tam da böyle bir sapma üretirdi. 0,43 p-değeri şunu söylüyor: tambur tamamen adil olsaydı, 100 vakanın 43 tanesinde gözlenen kadar büyük ya da daha büyük bir sapma görürdük. Yani gözlenen dağılım sadece „bir şekilde tamam" değil. Klasik ders kitabı anlamında istatistiksel olarak dikkat çekici değil. Adil tambur varsayımını reddetmek için bir gerekçe yok.
Peki yine de zorlasak?
49 sayı tek tek test edildiğinde, sırf tesadüf yüzünden her zaman „dikkat çekici" görünen birkaç sayı çıkar. Yaygın kullanılan yüzde 5 anlamlılık düzeyinde, 49 testte ortalama 2 ila 3 yanlış pozitif sonuç beklenir. Biz iki standart sapmanın üzerinde 3 sayı gözlemledik:
- 45, -2,89σ (soğuk sayı, çok nadir çekilmiş)
- 6, +2,63σ (sıcak sayı, çok sık çekilmiş)
- 13, -2,38σ (soğuk sayı, çok nadir çekilmiş)
49 testte ortalama 2 ila 3 böyle aykırı değer beklenir, gözlenen sayı 3. Bu, tesadüfün beklettiği büyüklükle tam aynı seviyede. Şimdi „Aha, demek 45 gerçekten soğuk!" diyen kişi klasik çoklu test hatasına düşer: aynı anda 49 test yaparsan her zaman birkaç aykırı değer bulursun, ama bu hiçbir şeyi kanıtlamaz. Bunu Bonferroni yöntemiyle düzeltirsen (eşik değer test sayısına bölünür), anlamlılık eşiği artık p = 0,05 değil, p = 0,00102 olur. 49 sayının hiçbiri bu düzeltmeden sağ çıkmaz. 45 da çıkmaz. 6 da çıkmaz.
Peki tambur yıllar içinde değiştiyse?
Haklı bir şüphe. 70 yıl uzun bir süre ve loto sistemi bu dönemde birkaç kez değişti. Bu yüzden verileri dört ayrı döneme böldük ve her birini ayrı ayrı test ettik:
- 1955-1979: Zusatzzahl olmadan klasik 6aus49
- 1980-2012: Zusatzzahl ile
- 2013-bugün: Superzahl ile (ayrı havuz)
- 18.01.2023'ten itibaren: çekiliş cihazının 60 yılı aşkın süreden sonra ilk kez değiştirilmesinden sonra
Dört dönemin tamamında ki-kare testi dikkat çekici kalmıyor. Herhangi bir tambur sürümünün ölçülebilir şekilde adaletsiz olduğuna dair hiçbir işaret yok. Bu arada: Alman 6aus49 çekilişleri baştan sona mekanik olarak yapıldı, hiçbir zaman rastgele sayı üreteciyle yapılmadı. Bu, Deutscher Lotto- und Totoblock tarafından maksimum izlenebilirlik için bilinçli olarak seçilmiş bir tasarım kararı.
Titizler için metodik bir not
İstatistik konusunda titiz olanlar haklı olarak şunu söyler: Loto için ki-kare testinin varsayımları tam olarak sağlanmaz. Bir çekilişteki 6 sayı yerine koymadan çekilir, yani birbirinden tamamen bağımsız değildir. Ama 49 sayı içinden 6 sayı çekildiğinde bu bağımlılık o kadar küçüktür ki test pratikte yine de anlamlı kalır. Çok terimli testlerle yapılan kesin analiz de aynı sonuca götürür.
Pointe
Loto tamburu sadece adil değil. Verilerde ölçülebilir şekilde adil. 70 yıl boyunca, 5,007 çekiliş boyunca, dört tambur dönemi boyunca. İstatistikten bundan fazlasını çıkarmak zor.
Somut bir loto örneği
Diyelim son 50 çekilişe baktın. 13 bu sürede yalnızca bir kez geldi, 26 ise sekiz kez. Şimdi 13 "gelmesi gerekiyor" mu?
Dürüst cevap: top son 50 çekilişte ne olduğunu bilmiyor. "Açığını kapatmıyor". Bir sonraki çekilişte 13'ün şansı diğer her topla aynı, altı ana sayının arasında yer alma olasılığı yaklaşık 8'de 1. 26'nın şansı da aynı. 7'nin de. Diğer her sayının da.
İnsan beyni evrimsel olarak, olmadığı yerlerde bile, örüntü görmek üzere ayarlanmıştır. "13 uzun zamandır gelmedi" gibi bir seri beynimize sinyal gibi gelir. Fiziksel topa hiçbir şey ifade etmez. Top her çekilişi aynı şekilde yapar, sezgimizden tamamen etkilenmeden.
Hangi loto sayıları en sık birlikte çekildi?
Her loto forumunda klasik bir soru. Dürüst cevap önce: burada da hiçbir kombinasyonun istatistiksel avantajı yok. Ama veriler eğlenceli. 1955'ten bu yana bir çekilişte birlikte en sık görünen beş sayı çifti:
| Sıra | Çift | Birlikte çekilme |
|---|---|---|
| 1. | 6 ve 33 | 93 kez |
| 2. | 32 ve 43 | 91 kez |
| 3. | 10 ve 11 | 88 kez |
| 4. | 24 ve 31 | 88 kez |
| 5. | 20 ve 33 | 88 kez |
Çift başına beklenen: 5,007 çekilişte yaklaşık 64 kez. En iyi çift 93 kez ile ortalamadan yaklaşık %45 üstte. Çarpıcı geliyor ama 1.176 olası çift için bu, tam olarak matematiğin uç değer için öngördüğü şey. Başka bir deyişle: bir sonraki çekilişte bu çiftin yine birlikte çıkma olasılığı geçmişte sık çıktığı için %0 değişir. Topun çiftler için de hafızası yok, tıpkı tek sayılar gibi.
Bir kademe daha heyecan istersen: 1955'ten bu yana birlikte en sık çekilen beş üçlü kombinasyon:
| Sıra | Üçlü | Birlikte çekilme |
|---|---|---|
| 1. | 11, 20 ve 49 | 16 kez |
| 2. | 5, 11 ve 13 | 16 kez |
| 3. | 4, 10 ve 25 | 16 kez |
| 4. | 20, 33 ve 43 | 16 kez |
| 5. | 12, 30 ve 32 | 15 kez |
49 sayıdan oluşan 18.424 olası üçlü kombinasyonla, üçlü başına beklenti tüm loto tarihinde yalnızca yaklaşık 5 kez. En iyi üçlünün 16 kez birlikte olması büyülü görünüyor ama örneklem büyüklüğü için istatistiksel olarak sıradan: bir üçlünün ilk sırada olması gerekiyor. Aynı sonuç: bu sayılar bir sonraki çekiliş hakkında hiçbir şey söylemiyor.
Aynı 6'lı kombinasyon iki kez çıktı mı?
Kontrol ettik. Cevap: asla. 1955'ten bu yana 5,007 ana çekiliş yapıldı - ikisinde de aynı altı sayılı kombinasyon (Süper Sayı hariç) yok.
Bu topun hafızalı olduğunu kanıtlar mı? Hayır. 1–49 arasından 13.983.816 olası altı-sayı kombinasyonu var. 5,007 çekilişten sonra, olası kombinasyonların yalnızca yaklaşık 2,793'de 1'i gerçek bir çekilişte hiç görüldü. Kombinasyonların büyük çoğunluğu hiç çıkmadı.
Doğum günü paradoksu denilen bir matematik tekniğiyle, 5,007 çekiliş içinde herhangi iki kombinasyonun çakışma olasılığı hesaplanır. Sonuç: yaklaşık %59. Yani: çakışma beklenirdi, ama olmamış olması da rastlantının sınırları içinde. Hafıza kanıtı değil. Sadece henüz başımıza gelmemiş olan şans.
Aynı sayıları her hafta oynamak şansımı artırır mı?
En inatçı meyhane efsanesi. Cevap: hayır, onda bir yüzde bile değil. 30 yıldır her hafta aynı altı sayıyı oynasan da her hafta yenilerini atsan da, altı doğru tutturma şansın aynı kalıyor: 13.983.816'da 1.
Arkasındaki yanılgı: çoğu insan „devam edersem benim sayılarım bir gün gelir" diye düşünür. Matematiksel olarak yanlış. Çekiliş tamburunun ne hafızası ne de sadık müşterilere zaafı vardır. Her çekiliş bağımsız bir olaydır. Şimdiye kadarki 5.007 çekiliş bir sonrakinin olasılığını değiştirmez.
Gerçekten değişen şey: kümülatif yaşam-boyu şansın daha sık oynadıkça artar, çünkü daha fazla deneme yaparsın. Ama bu herhangi bir sayı kombinasyonu için geçerlidir, özellikle „senin" sayıların için değil. Her hafta yeni sayılar oynamak istatistiksel olarak aynı derecede başarılı (veya başarısız) olur.
Küçük bir istisna: favori kombinasyonun sıradışıysa (doğum günü değil, çapraz desen değil, ardışık dizi değil), aynı olasılıkla kazanırsın ama kazanma durumunda jackpot'u daha az ortak kazananla paylaşırsın. Bu bir şans artışı değil, bir pay artışıdır. Detayı sonraki bölümde.
Olasılıkları bilmek lotoda yardımcı olur mu?
Evet, ama çoğu insanın sandığı gibi değil. Kazanma şansını artıramazsın. Ama kazandığında beklenen ödülü optimize edebilirsin. Anahtar kelime: ikramiye optimizasyonu.
Jackpot duruyorsa ve 1, 2, 3, 4, 5, 6 ya da 3, 6, 9, 12, 15, 18 ya da 1'den 31'e kadar doğum günleri tahmin edip kazanırsan, havuzu aynı "sezgisel" fikre sahip onlarca başka oyuncuyla paylaşırsın. Bazen yüzlerce başkasıyla.
Bunun yerine 14, 22, 31, 38, 41, 47 (bilinçli olarak göze çarpmayan sayılar, kuponda örüntü yok, doğum günü yok) tahmin edersen, aynı olasılıkla kazanırsın, ama jackpot çıkarsa havuzu çok daha az kişiyle paylaşırsın. Tahmininin beklenen değeri olasılık sayesinde artmaz (1'de 139.838.160 olarak kalır), kazanma durumundaki daha yüksek ikramiye oranının sayesinde artar.
Önemli not: bu, lotonun negatif beklenen değer gerçekliğini değiştirmez. En iyi şekilde tahmin edilse bile, loto uzun vadede zarar eden bir oyundur. Burada 70 yıllık veriyle hesaplıyoruz.
Peki şanslı sayılar, burçlar ve doğum günleri ne olacak?
Çekiliş tamburunun hafızası yoksa, birkaç popüler teori de onunla birlikte çöker. “Sıcak” ve “soğuk” sayıları yukarıda zaten parçalara ayırdık. Şimdi sıradaki dört büyük stratejiye aynı ayık gözle bakalım.
Doğum günleri ve kişisel tarihler
Açık ara en yaygın tahmin stratejisi: evlilik yıldönümü, çocukların doğum günleri, ilk tanışma tarihi. Bunun bir çekiciliği var, çünkü kupon rastgele bir seçimden çok bir hayat hikâyesi gibi hissettiriyor. Böyle oynayanın elinde, her matematik argümanından sağ çıkan bir gerekçe var.
İstatistiksel olarak kazanma şansını değiştirmez. Ama doğum günleri hep 1 ile 31 arasında kalır, bunun iki sonucu var. Birincisi: 32 ile 49 arasındaki sayılar kuponda hiç yer almaz, yani sayı aralığının iyi bir üçte biri dışarıda kalır. İkincisi: çok sayıda başka oyuncu da aynı şekilde oynar, yani kazanırsan jackpot'u ortalamanın üzerinde kişiyle paylaşırsın (yukarıdaki ikramiye optimizasyonuna bak). Altılı tutturma olasılığı 13.983.816'da 1 olarak kalır. Ama kazanma durumunda beklenen ödeme belirgin biçimde düşer.
Burçlara atanan şanslı sayılar
Astroloji uygulamaları ve magazin burç köşeleri, her burç için üç ya da dört “şanslı sayı” dağıtmayı sever. Bazen doğum tarihinin rakam toplamından çıkarırlar, bazen tarot ya da numerolojiden, çoğu zaman da doğrudan kafadan. İddia şu: bazı sayılar senin burcun için özellikle uğurludur.
70 yıllık çekiliş verisini keyfî bir burç-sayı eşleştirmesiyle karşılaştırırsan (örneğin Koç 1 ile 4 arası, Boğa 5 ile 8 arası, böyle devam), en başarılı burç ile en zayıf burç arasındaki fark yüzde ikinin altında kalır. Yani eşit dağılmış rastlantı için standart sapmanın öngördüğü koridorun tam içinde. Başka bir deyişle: burçları sayılara nasıl eşlersen eşle, ister elemente göre, ister zodyak sırasına göre, ister favori renge göre, istatistiksel olarak aynı derecede (başarısız) olur.
7 ve 13 gibi uğurlu ve uğursuz sayılar
7 sayısı antik çağlardan beri uğurlu sayılır (dünyanın yedi harikası, haftanın yedi günü, yedi cüceler), 13 ise birçok ülkede uğursuz kabul edilir. Bazı oyuncular bilerek 7'yi seçer, bazıları 13'ten özellikle kaçınır. İkisi de anlaşılır, çünkü bu anlamlar kültüre derinden işlemiş.
Veride bunun izi yok. Hem 7 hem 13, tüm 49 sayının normal dağılım aralığında kalıyor, ortalamadan sapmaları tek haneli yüzde aralığında. Tambur numeroloji bilmez. Sadece 49 top bilir, hepsi aynı ağırlıkta, hepsi aynı şekilde yuvarlanır.
Tekrar eden sayılar ve kupondaki desenler
11, 22, 33, 44. Kupon alanında çaprazlar. Kenardaki tüm sayılar. Tam bir sütun. Göze hoş gelen, akılda kalan ve işaretlemesi keyifli tahminler. Burada da kimseye itirazımız yok.
Tambur kuponu görmez. Top çeker, desen değil. Önemli olan kombinasyondur, geometrik diziliş değil. Ama tekrar eden sayılar ve desenli tahminler, doğum günleriyle aynı ikramiye-optimizasyon etkisine sahiptir, sadece daha güçlü: binlerce başka oyuncu tam olarak bu dikkat çeken desenleri seçer. Jackpot denk gelirse, ödül birçok kişi arasında bölünür.
Açık konuşalım: bu stratejilerin hiçbiri aptalca değil. Eğlence olsun diye doğum günlerini oynuyorsan ya da 7 şanslı hissettirdiği için kupona ekliyorsan, ne yaptığını bildiğin sürece sorun yok. Yeter ki bunun eğlence olduğunu, optimizasyon olmadığını bil. Ama bu yöntemlerden biriyle kazanma şansını artırdığını sanıyorsan yanılıyorsun. Tutturma şansı, burçlardan, doğum günlerinden ve şans sembollerinden etkilenmez. Sadece matematiğe bağlıdır, matematik de acımasızca kayıtsızdır.
Üç maddede çıkarımlar
- Çekiliş tamburunun hafızası yok. Geçmiş çekilişlerin bir sonraki üzerinde sıfır etkisi vardır. Her küre her çekilişte tam olarak aynı şansa sahiptir.
- Sıcak ve soğuk sayılar yanılsamadır. Örüntü gibi görünen, örüntü tanıma beyninin sinyal olarak yorumladığı istatistiksel gürültüdür.
- Oynayacaksan: göze çarpmayan sayılar seç. Kazanma şansın değişmez. Ama (çok düşük ihtimalli) bir kazanma durumunda jackpot'u daha az ortakla paylaşırsın.